№681. А={5,6,7,8,9,10} В={9, 10,11,12} АuВ={5,6,7, 8,9,10, И, 12} А?В={9,10}
1) 8000:(28х+4)=40, 28х+4=8000:40, 28x+4=200, 28х=196, х=7;
2) 64—12у:40=37, 12у:40=64–37, 12у:40=27, 12у=40•27, у=90.
№686. Среда.
№687. х собак, у кошек.
6х+5у=56, перебор у=1 6х=51 - неверно, т.к. 51:6.
у=2 6х=46- неверно; у=3 6х=41 - неверно; у=4 6х=36, х=6
у=5 6х=31 - неверно; у=6 6х=26 - неверно; у=7 6х=21 - неверно; у=8 6х=16 - неверно;
у=9 6x=11 - неверно; у=10 6х=6, х=1.
Ответ: 1 собака, 10 кошек или 6 собак, 4 кошки.
3. Наименьшее общее кратное
№688.1) К(28)={28,56, 84,112, 140,168,...} К(42)={42,84,126,168,...}, К(28,42)={84,168,...};
2) НОК=84;
3) 28=2•2•7, 42=2•3•7, НОК=2•2•3•7=84.
№689. 1)HOK=2•2•3•3•3 S•5•7•11; 2) HOK=2•2•2•3•5•5S•7•13; 3) HOK=2•2•3•5•5•7•19; 4)НОК=2•2•2•2•3•3•5•7•17.
№690. 1)28=2•2•7; 35=5•7, НОК=2•2•5•7; 2) 16=2•2•2•2; 56=2•2•2•7, НОК=2•2•2•2•7; 3) 21=3•7; 100=2•2•5•5, НОК=2•2•3•5•5•7; 4) 18=2•3•3; 162=2•3•3•3•3, НОК=2•3•3•3•3; 5) 264=2•2•2•3•11; 300=3•2•2•5•5, HOK=2•2•2•3•5•5•11; 6) 360=2•2•3•3•2•5; 1020=51•20=2•2•3•5•17, НОК=2•2•2•3•3•5•17; 7) 72=2•36=2•2•2•3•3,90=2•2•3•3•5,96=2•2•2•2•2•3, НОК=2•2•2•2•2•3•3 5 8) 58=29•2, 87=29•3,435=29•3•5, НОК=2•3•5•29.
№691.1) 8069424; 2) а; 3) а делится на b.
№692. 1) 100 2)54 3)12121212 4) 117117117 5)102030405 6)300200100
№693. 1) 4=2•2, 125=5•5•5 => НОК=4•125=500;
2) 33=3•11, 1000=2•2•2•5•5•5 => НОК=33•1000=33000;
3) 111=37•3, 200=2•2•2•5•5 => НОК=111•200=22200;
4) 18=2•3•3, 1001=7•11•13 =>НОК=18•1001=18018.
№694. Они взаимно просты.
№695. 1) 5•12=60; 2) 17•10=170; 3) 8•21=168; 4) 6•25=150.
№696.1) Ложно, т.к. 704<10692. 2) Потому что НОК(а, b) делится на а и на b.
№697. 18=2•3•3,24=2•2•2•3 => НОД(18,24)=2•3
НОК(18,24)=2•2•2•3•3
НОД•НОК=2•3•2•2•2•3•3=2•2•2•2•3•3•3
18•24=2•2•2•2•3•3•3 => 18•24=НОД(18,24)•НОК(18,24)
42=2•3•7,70=2•5•7
НОД(42,70)=2•7, НОК(42,70)=2•3•5•7
НОД(42,70)•НОК(42,70)=2•7•2•3•5•7=2•2•3•5•7•7
42•70=2•2•3•5•7•7 => НОД(42,70)•НОК(42,70)=42•70.
Гипотеза: для всех натуральных а и b a•b=НОД(а, b)•НОК(а, b).
Однако на основании рассмотренных примеров утверждать так нельзя. Нужно доказательство.
№698. Число яблок=2•3•4•5•6>200, значит, число яблок=2•2,•3•5=60<200, либо 60•2=120,60•3=180. Ответ: 60,120 или 180.
№699. Должно выполняться следующее равенство 150•х=360•у, где х и у - некоторые натуральные числа.
т. е. 15х=36у, 5х=12у=>х=12,у=5. Ответ: 12 этапов.
№700.12=2•2•3; 20=2•2•5; 18=2•3•3. НОК(12,20,18)=2•2•3•3•5=180. Ответ: через 180 дней.
№701.1) (2:2)•3•3•(7:7)=3•3=9; 2) (2:2)•2•(3:3)•(5:5)=2; 3) 2•(5:5)•(5:5)•7•(13:13)=2•7=14;
4) (2:2)•(2:2)•2•5•(11:11)•17•(29:29)=2•5•17=170.
№702.1) 10584=4•2•3 -441=2•2•2•3•3•3•7•7, 168=42•4=2•2•2•3•7, 10584:168=3•3•7=63;
2) 525=21•25, 13125=25•5•105=25•25•21, 13125:525=25.
№703. 1) ложно, т.к. их НОД?2. 2) ложно, контрпример 30 и 21. 3) верно. 4) ложно, контрпример 2•5=10 и 3•7=21 5) верно, т.к. их разность равна 1. 6) ложно, их НОД=n.
№705. 1) Чтобы умножить сумму (разность) на чило, нужно это число умножить на каждое слагаемое, а результаты сложить (вычесть).
2) а) 18+24=3•6+4•6=6•(3+4); б) 80–32=16•5–16•2=16•(5–2); в) 12+48=12•11+12•4=12•(1+4); г) 92–23=23•4–23=23•(4–1).
№710.1) 1396024+402976–1799000=0;
2) 406•500000•(978:978)–37509=406•500000–375509=202962491;
3) (2535456+3010854):77=72030;
4) 261•(3005–2985+980):100–2004=2160–2004=156.
№711.
№712. V=8•8•8=512 (дм3), S=8•8•5•2=64•l0=640 (дм2).
№713.1) НОК=2•2•3•3•3•5•5•7•11; 2) НОК=2•2•2•2•2•2•3•5•5•5•5•13;
3) НОК=2•2•2•3•3•5•5•5•7; 4) НОК=2•2•2•2•2•3•5•5•5•5•7•7.
№714. 1) 350=5•7•2•5, 630=7•3•3•2•5, НОК=2•3•3•5•5•7;
2) 2070=3•3•29•2•5, 48300=161•3•100=3•7•23•2•2•5•5; НОК=2•2•3•3•5•5•7•23•29;
3) 18=2•3•3 60=2•2•3•5, 42=2•3•7, НОК=2•2•3•35•7;
4) 48=4•4•3=2•2•2•2•3 150=3•5•2•5, 126=2•3•3•7, НОК=2•2•2•2•3•3•5•5•7
№715. x -растаяло, (х–6) - осталось, x+x-6=28, 2х=34; х=17,
17 сосулек растаяло, 17–6=11сосудек осталось.
№716. х м - ширина, (х+1)м- длина, 2(х+х+1)=98, 2х+1=49, 2х=48, х=24, S=24-•(24+1)=600 (м2)=6 (аров).
№717.
3) а) 5600; б) 1500; в) 1000; г) 0; д) 50000; е) 1; ж) 4004; з) 15360; и) 36210
В сумме получаем: 113675 - Телемах.
№718. В равенство входят все цифры от 1 до 9 по одному разу. Но равенство невозможно, т.к. в одну из частей входит цифра 7, в другую - нет. Т.е. одна часть делится на 7, а другая - нет.
№719. х - число
[(5х+1)•6+2]•7+4=16•135, [(5х+1)•6+2]•7=2156, 2+6(5х+1)=308, 6(5х+1)=306, 5х+1=51, 5х=50, х=10. Ответ: 10.
№720. х - чиело солдат.
Тогда х=2а+1=3b+2=4c+3=5d+4=6e+-5=7k+6=8l+7=9n+8= 10t+9
х не делится на 2,3,4 10.
Ясно, что число 2•2•2•3•3•5•7 делится на 2,3,..., 10.
Тогда 2•2•2•3•3•5•7—1 будет давать нужные остатки и будет наименьшим.
2•2•2•3•3•5•7=8•9•35=2520. Значит, солдат было 2519. Ответ: 2519.
№721. д).
4. Степень числа.
№722.
1) 8•9; 2) 89; 3) 125•6; 4) 1256 5) 4•(а+b); 6) (a+b)4; 7) 5х+4y; 8) x5•y4
№723. Два в шестой = 64; Три в четвертой = 81; Десять в пятой = 100000; Семь в квадрате = 64.
№724. 1)23=8; 2) 27=64•2=128; 3)32=9; 4)35=81•3=243 5) 13=1; 6) 19=1; 7) 02=0; 8) 036=0
9) 103=1000; 10) 106=1000000.
№725. 1) 32=9>23=8; 2) 52=25<25=32; 3) 43=64<34=81; 4) 27=128>72=49
№726. 1) 53=5•5•5>5•3; 2) 48•2<482=48•48; 3) 1005>100•5.
№727.
№728. а) 302=900<2209, 352=1225<2209, 452=2025<2209, 472=2029 => это 47.
б) 133=2197<4913, 163=4096<4913, 173=4913 => это 17.
№729.
3) х=1 12•51–6=1+5–6=0, х=2 22+5•2–6=4+10–6=8, х=3 32+5•3–6=9+15–6=18, х=4 42+5•4–6=16+20–6=30, х=5 52+5•5–6=25+25–6=44.
№730. 1) 32•54•7; 2) 25•3•53; 3) 82+43–3•72; 4) 93–2•4+5•62=93–23+5•62; 5) 33•(23+42); 6) (74–11•33):8; 7) 102+(53•4+92)•2:14; 8) 2020–43•(72–33):24.
№731. 1) 4•5=20; 2) 4•125=500; 3) (4•5)3=20•20•20=800; 4) 64+9=73; 5) 112=121; 6) 8+9=17; 7) 125–2=123; 8)125–8=117; 9)33=27; 10) 3•49–25=122; 11) 56+3•81=299; 12) 64+3•25–64=75.
№732.1) произведение а и b в квадрате 2) а квадрат умножить на b2 3) а умножить на b квадрат 4) суммаа a и b в кубе 5) а в кубе плюс b в кубе 6) а плюс b куб 7) разность а и b в квадрате 8) а квадрат минус b квадрат 9) а минус b квадрат 10) куб частного а и b 11) три а разделить на b куб 12) а разделить на b куб.
№733. 1) НОД=2•72, НОК=24•32•73•13 2) НОД=2•32•7, НОК=2•32•54•73
3) НОД=22•33•5, НОК=25•34•53•11•13 4) НОД=1, НОК=a•b=23•32•52•7•13•19•292
№734.1) 924 не делится на 9, а 362 делится 2) 4825 не делится на 3, а 752 делится
3) 1902 должно оканчиваться двумя нулями 4) 4782 должно оканчиваться четверкой, т.к. 8•8=64.
№735. 1) 975=3•5•5•13=3•52•13 1980=2•3•3•11•2•5=22•32•5•11, НОД=3•5=15, НОК=22•32•52•11•13;
2) 840=21•4•10=23•5•3 •7=23•3 •5•7, 2700=33•22•52=22•33•52 НОД=22•3•5, НОК=23•33•52•7;
3) 162=34•2, 432=33•24, 1440=122•10=32•42•2•5=25•32•5. НОД=2•32, НОК=25•34•5.
№736.1) 2•1000+7100+50+1=2751; 2) 30000+600+80+4=30684; 3) 900000+8000+200+7=908207;
4) 5000000+500000+50000+5000+500+50+5=5555555.
№737. 4302=4•103+3•102+2 ; 75681=7•104+5•103+6•102+8•10+1; 608993=3+9•10+9•102+8•103+6•105;
89003714=4+10+7•102+3•103+9•106+8•107.
№738.1) 1 дм=10 см, 1 м=102 см, 1 км=102•103 см=105 см;
2) 1 кг=103 г, 1 ц=103•102=105 г, 1 т=106 г;
3) 1а=104дм2, 1 га=104•102=106 дм2, 1 км2=106•102=108 дм2;
4) 1 см3=103 мм3, 1 дм3=103•103=106 мм3, 1 м3=106•103=109 мм3.
№739. I. 1)23•24=27, 72•76=78, 93•93=96. Общим является основание степени
56•32 - упростить нельзя, т.к. разные основания.
2) a3•a2 =a5 ; a5•a4=a9; a1•a6=a7; am•an=am+n - правилоn 3) а0= 1
II. 1) 57:52=55; 117:114=113; 45:42=43 Общим является основанием степени.
74:42 - упростить нельзя, т.к. разные основания.
2) а6:а4 =a2, a8:a3=a5, a5:a1=a4, am–an=am–n - правило 3) аm:а0=аm–0 =am, аm:а0=аm:1=аm => верно.
III. 1) (53)2=(5•5•5)2 =5•5•5•5•5=56 2) (a3)2 =а6; (а1)4=а4; (а2)5=a10; (аm)n=аmn - правило.
№740. 7•2+1=15-составное; 3•2+1=7 - простое;
16•2+1=33 - составное; 8•2+1=17 - простое;
22•2+1=45 - составное; 23•2+1=47 - простое;
10•2+1=21 - составное; 18•2+1=37 - простое;
10•2+1=21 - составное; 9•2+1=19 - простое.
