№801. 1) 182=324>93 => ложно
2) (10+2)+(20+2)+(30+2)+...+(90+2)=2-9+(10+20+...+90)=18+450=468. 29=512 => ложно.
№802. Сумма всех очков на всех костях = (1+2+3+4+5+6)•8=21•8=168. 31+37+41+43=152<168, 37+41+43+47=168.
Значит, в кучках должно быть 37, 41,43 и 47 очков. У нас в распоряжении такие очки: 0,1,2,2,3,3,4,4,4,5, S, 5,6, 6,6, б, 7,7, 7, 8, 8, 8,9,9,10,10,11,12. Раскладываем 4 кучи по 37, затем добавляем 0,4,6, 7 и 3.
| I | II | III | IV |
| 10 | 10 | 11 | 12 |
| 9 | 9 | 8 | 8 |
| 8 | 7 | 7 | 6 |
| 6 | 6 | 5 | 5 |
| 4 | 5 | 4 | 3 |
| 4 | 2 | 2 | |
| 6 | 1 | ||
| 7.3 |
№803. xyz - число 100х+10y+z–x–y–z=99x+9y=9(11x+у): 9, чтд.
№804. х - на ветвях, у - под деревом; (х+у) - всего
3(у–1)=х+у (1) x–1=y+1 (2)
Имеем: 3у–3=х+у; 2у=х+3
х=у+2, у+2+3=2у, 5 =у, у=5, х=5+2=7 Ответ: 7 и 5.
Задачи для самопроверки.
№805. 1) (2:2)•2•(3•3•3):(3•3•3)•(5:5)•5•7=2•5•7=70; 2) (16•21):7=16•(21:7)=16•3=48.
№806. НОД=4 8=4•2=23, 12=23•3, 28=22•7, НОК=23•3•7=168.
№807. 180=18•10=2•9•10=22•32•5, 396=99•4=32 •11•22=22•32•11, НОД=22•32; НОК=22•32•5•11.
№808. 1) 1, т.к. 100–99=1; 2) 99•100=9900, т.к. 100 и 99 - взаимно простые, 3) НОД=9; 4) НОК=207207207
№809. 1) 212=441; 2) 43=64; 3)(3•5)2=152=225; 4) 3•52=3•25=75; 5) (3+5)2=82=64; 6) 3+52=3+25=28
№810. 24392=2•104+4•103+3•102+9•10+2.
№811.1) (18+24) мин+(36+58) с = 42 мин + 1 мин + 34 с = 43 мин 34 с
2) 4 ч 77 мин - 3 ч 45 мин = 1 ч 32 мин
3) 3•7 Ч+25•7 мин=21 ч + 175 мин = 21 ч + 2 ч + 55 мин = 23 ч 55 мин.
4) 42:14 мин + 48:24 с = 3 мин 2 с
№812. 192–2•(28+36)=44 (км)
№813. 12•(80–60)=12•20=240 (м)
№814. V1=45 км/ч, V2= 45 •8/5 = 72 км/ч, 108:(72–45)=4 ч.
§ 5. Еще немного логики
1. Равносильность предложений.
№815. Число к делится на 9 о Сумма цифр числа к делится на 9 <=> Число к делится на 5 <=> Число к оканчивается на 5 или 0.
№816. а) Бывают четвероногие носороги. б) 14 тоже делится на 2. в) У 17 сумма цифр не делится на 7.
г) 10 делится на 2, но 2 не делится на 10. д) а=14, b=13, с=1. е) Могут и оба множителя делиться на с.
ж) a=24, b=8, с=6 з) х=3 х2–1 =8, Но Х+2?7. и) у=4 4?4, Но 4–3<1.
№817. 1) а–b=с, b=a–с, b?a+c => ложно 2) a–b=с, а=b+с => верно; 3) ложно. у=1, х=2 2?1+2; 4) верно;
5) d=2/7•k =>ложно; 6) верно; 7) ложно; 8) ложно, т.к. х€А?В <=> х€А и х€В 9) верно; 10) ложно, т.к. прямые могут пересечься под углом в 30° 11) ложно, т.к. углы могут не иметь общей стороны 12) верно;
13) 3(х+1)=2х+5, 3х+3=2х+5 => верно 14) 4х+3=7, 4х=4, х=1 => верно.
№818. 1)2=28, а=14, 2а–3=25 <=> а=14; 2) 18:b=9, b=2, 18:6=9<=> b=2; 3) 80–с=56, с=24, (80–с):8=7 <=> с=24;
4) 11k=55, k=5, k+4k+6k=55<=>k=5; 5) 3m=72, m=24, 8m–3m–2m=72 <=> m=24; 6) 12n=60, n=5, 9n–n+4n=60 <=> n=5;
7) 6х=24, х=4, 8+5x+x=32 <=> х=4; 8) 9x=27, у=3, 12у–3у–6=21 <=>y=3; 9) 8z=44, z=44/8=11/2. 7z+4+z=48<=>z=11/2.
№819. а) 33>32; б) 5 - делитель 125; в) 36 - делитель 12348, г) Катя - сестра Васи; д) Петя дружит с Васей;
е) Петя младше Васи; ж) Прямая b параллельна прямой а; з) Прямая b пересекается с прямой а
и) Прямая b перпендикулярна прямой а к) Точка с принадлежит прямой а.
№820. а) Все смертные - люди (ложно). б) Все двуногие - люди (ложно). в) Все четные числа делятся на 2 (верно). г) Всякок натуральное число, делящееся ена 5, оканчивается на 5 (ложно). д) 1 меньше или равна любой неправильной дроби (верно).
№821. 1) а=6+3; 2)d–c=9; 3)х=4у; 4) z=к:5; 5) a=b•с+r; 6) n=4q–1
№822. Число k делится на 2 <=> Число k оканчивается на 0,2,4,6 или 8 Число t делится на 10 <=> Число t оканчивается на 0.
№823. 1) 45–9=72:х. 72:х=36, х=2, 45–72:х=9 <=> х=2; 2) 14у=84, у=6, 15у–2у+у=84 <=>у=6;
3) 3z=28, z =28/3= 9 1/3. 4z–z–7=21 <=> z= 9 1/3
№824. 1) с–b=6; 2) х=2у; 3) d=8q+5; 4) m = 3/4•n
2. Определения.
№825. 1) а - простое <=> а делится на 1 и на само себя. Здесь объясняется новое слово «простое число». Используются «старые» слова «делиться на».
2) х - сестра у, если х и у имеют одних и тех же родителей и х - женщина.
3) а делитель b ,=> 3с:b=ас
№826. 1) Световым днем называется время от восхода до заката солнца. 2) Не определение. 3) Не определение. 4) Летом называется время года. 5) «Летом в житейском обиходе» называются летние месяцы июнь, июль, август. 6) Световым годом называется расстояние, которое луч проходит за год.
№827. 1) «Луч». Старые - прямая. 2) «Отрезок». Старые - прямая. 3) «Ломаная». Старые - отрезок. 4) «Звено ломаной». Старые - ломаная, отрезок. 5) «Длина ломаной». Старые - звено. 6) «Многоугольник». Старые - ломаная. 7) «Четырехугольник». Старые - звено. 8) «Прямоугольник». Старые - четырехугольник. 9) «Квадрат». Старые - прямоугольник. 10) «Правильный многоугольник». Старые - сторона, угол. Квадрат является правильным.
№828.1) Произведение чисел на само себя. 2) Произведение числа на квадрат числа. 3) Натуральное число, большее 9 и меньшее 100. 4) Дробь, у которой числитель больше знаменателя. 5) 1000 метров. 6) 100 см. 7) 60 минут. 8) 60 секунд.
№829. 1) 3х=19; х =19/3€ N=> ложно; 2) 3х=1444+5=1449:3 => верно; 3) ложно; 4) верно (m=7); 5) ложно; 6) верно (m=4, n=3).
№830. а называется кратным трем, если существеут такое n?N, что а=3n
№831. а) 2х - четное число, (2х)2=4х2: 9, чтд. б) 3х - данное число, (3х)2=9х2:9, чтд.
№832. 1) Число у называется квадратом числа х. 2)A,B,D.
№833. а) Точные квадраты: 25,36,196 числа, не являются точными квадратами: 26,37,197.
б) 1,4, 9, 16, 25, 36,49,64, 64, 81,100.
№834. 1) 169,625, 1024, 9081, 10201 2) никакие. 3) 100,10000,1 миллион 4) 100 нулей, 1998 нулей, n нулей (если n - четное) 5) 121, 12321, 1234321, 123454321.
№835. Число х называется квадратным корнем из числа у<=>х2=у. Число х - точный квадрат <=> 3ух=у2.
№836. Т.к. 256=162, то 16 шеренг и 16 солдат в каждой.
№837. Корень из одного равен единице.
№838. 1) «Угол». Старые - луч, плоскость. 2) «Стороны угла». Старые - угол. 3) «Вершина угла». Старые - стороны угла. 4) «Дополнительные углы». Старые - углы. 5) «Развернутый угол». Старые - угол, прямая. 6) «Прямой угол». Старые - развернутый угол. 7) «Острый угол». Старые - прямой угол. 8) «Тупой угол». Старые - прямой, развернутый. 9) «Смежные углы». Старые - лучи. 10) «Дополнительные лучи». Старые - лучи. 11) «Вертикальные углы». Старые - дополнительные лучи.
№839. Два дополнительных угла.
№840. Развернутый угол - угол, стороны которого дополнительные лучи.
Смежные углы - углы, одна сторона которых общая, а две другие являются дополнительными лучами.
№841. а) две стороны не являются дополнительными лучами б) углы не имеют общей стороны
в) углы не имеют общей стороны.
№842. а) 2 острых, 2 прямых, 2 тупых, 1 развернутый, 5 пар смежных, 2 пары вертикальных. Итого: 14.
б) 2 острых, 3 прямых, 0 тупых, 0 развернутых, 2 пары смежных, 1 пара вертикальных. Итого: 8.
в) 4 острых, 4 прямых, 4 тупых, 0 развернутых 12 пар смежных, 6 пар вертикальных. Итого: 4+4+4+12+6=30.
№843. M€m, Q€m, О€m, A€1, D€1, O€1, R€1.
№844. 1) «пересекающиеся прямые»; 2) «параллельные прямые»; 3) «перпендикулярные прямые»;
4) «окружность» и «центр окружности»; 5) «диаметр» 6) «радиус»; 7) «хорда»; 8) «центральный угол»;
9) «вписанный угол»
№845. А верно, если точка не лежит на данной прямой.
Б верно 3 верно В верно И верно
Г верно К верно Д верно
Л нет, они могут пересекаться иод произвольным углом
Е верно М нет Н верно О верно
С верно П верно Т ложно Р верно
Ф верно.
№847. I 1)b, с 2) не всякий. У равностороннего треугольника все углы равны.
3) Этот отрезок равен половине стороны.
II 1) b, с 2) нет; да 3) A B C
III 1) самый красивый - равносторонний с. Самый некрасивый -. произвольный b.
№848. а) Касательная - прямая, которая имеет ровно одну общую точку с окружностью.
Секущая - прямая, которая имеет 2 общих точки с окружностью. Касательные: b, d, I, к.
Секущие: с, е, m.
б) Вписанные треугольники GEF, PQR.
Вписанная окружность: ABC, KMN.
в) Описанные треугольники: EDF, PSR.
Описанные окружности: ФИСб ЛЬТю
№849.1) 37=1•37, 25=5•5, Д(37)={1,37} Д(25)={1,5,25}, 25 богаче 37.
2) 37,25,6
3) Ложно 37>25, но 25 богаче 37.
4) Да, например простые числа.
5) Такого числа нет, т.к. любое число можно «обогатить», домножив его на дополнительный множитель.
6) а беднее b <=> а имеет меньше делителей, чем 6.
Самое бедное - единица.
№850.1) Андрея, Димы, Анны; 2) Наташи; 3) Семена и Марии; 4) Михаила и Елены; 5) Семена, Марии, Михаила и Елены; 6) Михаила, Елены, Петра и Ирины; 7) Ольги и Полины; 8) Андрея и Димы; 9) Ольги; 10) Петра; 11) Наташи; 12) Андрея, Димы, Анны; 13) Наташи; 14) Андрея, Димы, Анны; 15) Полины, Ольги; 16) Ольги, Полины; 17) Юрия; 18) Ивана; 19) Веры; 20) Юрия; 21) Полипы, Ольги; 22) Ивана; 23) Полины.
№851. 1) х мать у <=> х-родитель у и х- женщина
2) х дочь у <=>у-родитель х и х - женщина
3) х брату <=> х ну имеют одних и тех же родителей и х- мужчина
4) х теща у<=>
5) х дедушка у <=> х - мужчина и 3z:z - сын х и отец у или z - дочь х и мать у
6) х бабушка у <=> х- женщина и 3z:z - сын х и отец у или z - дочь х и мать у
7) х внук у <=> х - мужчина, отец или мать х является сыном или дочерью у
8) х внучка у <=> х - женщина, отец или мать х является сыном или дочерью у.
№852. 1) х делится на у, если 3a:х=ay
2) х называется простым числом, если х имеет только два делителя
3) х называется составным числом, если х имеет больше двух делителей.
4) а и b называются взаимно простыми, если НОД(а, b)= 1.
5) Степенью числа а с показателем n(n>1) называется произведение n множителей, каждый из которых=a.
6) b квадрат числа а, если b=а•а
7) b куб числа а, если b=а•а•а,
№853. А, Г (m=1), Д (n=37).
№854. а точный куб <=> 3b:a=b3
а кубический корень из числа b, если a2=b
№855. Число а кратно 5 <=> Зb:а=5b Число а кратно 24 <=> Зс:a=24с.
№856. 1) Хорда, перпендикулярная диаметру, делится точкой пересечения пополам. 2)AC=BD.
№857. 
