ГДЗ математика 5 класс С.М. Никольский и др.

3. Занимательные задачи

№301. а) 90 км     б) 2 мин.
№302. а) Представим искомое двузначное число в виде ab–a•10+b.  Если приписать цифру 5 слева, то получим число 5ab, справа — аb5.  В сумме числа составляют 912.
5•100+а•10+6+а•100+b•10+5=912 <=>(5+а)•100+(а+b)•10+(b+5)=912 =>b+5=12
a+5=8=>b=7, a=3   a+b=10  Следовательно, искомое число — 37. Ответ: 37.
б) Представим искомое двузначное число в виде ab=10а+b. Если приписать цифру 1 слева, то получим число 1ab, справа — ab1. В сумме числа составляют 926.
1•100+а•10+b+а•100+b•10+1=926<=>(a+1)•100+(а+b)•10+(b+1)=926=>b+1=6, а+b=12, а+1=8<=>b=5, а=7 Следовательно, искомое число — 75. Ответ: 75.
в) Представим искомое трехзначное число в виде аbс = а•100+b•10+с. Если приписать цифру 2 слева, то получим число 2abc, справа — abc2. В сумме они составляют 5929.
2•1000+а•100+b•10+х+a•1000+b•100+х•10+2=5929<=>(2+a)•1000+(а+b)•100+(b+x)•10+(х+2)=5929=>х+2=9,
b+х=12, а+b=8, а+2=5<=>x=7, b+7=12, а+b=8, а=3<=>х=7, b=5, а=3
Следовательно, искомое число — 357. Ответ: 357.
г) Представим искомое трехзначное число в виде abc=а•100+b•10+с. Если приписать цифру 7 слева, то получим число 7abc,  справа — abc7. В сумме они составляют 8360.
7•1000+а•100+b•10+х+а•1000+b•100+х•10+7=8360<=>(а+7)•1000+(а+b)•100+(b+х)•10+(x+7)=8360=>х+7=10,
b+х=5, а+b=3, а+7=8<=>х=3, b+3=5, а+b=3, а=1<=>х=3, b=2, а=1 Следовательно, искомое число — 123. Ответ: 123.

№303. а) Представим искомое двузначное число в виде ab. Если приписать цифру 5 слева, то получим число 5аb, справа — аb5. Их разность равна 234. Имеем две возможности. Либо число 5ab больше аb5, либо число аb5 больше 5аb.  1 случай 5ab>аb5
5•100+а•10+b–а•100–10•b–5=234<=>5•100+а•10+b=а•100+10•b+5+2•100+3•10+4<=>5•100+а•10+b=
=(а+2)•100+(b+3)•10+9=>b=9, а+10=b+3=>6=9, а+10=9+3=>b=9, а=2 Следовательно, искомое число — 29.
II случай ab5>5аb.
а•100+b•10+5–5•100–a•10–b=234<=>а•100+b•10+5=5•100+а•10+b+2•100+3•10+4<=>а•100+b•10+5=
=7•100+(а+3)•10+b+4=>b+4=5, а+3=b+10, а–1=7=>b=1, а=8 Следовательно, искомое число — 81. Ответ: 29 или 81.
б) Представим искомое двузначное число в виде ab. Если приписать цифру 6 слева, то получим число 6аb, справа — аb6. Их разность равна 162. Имеем две возможности. Либо число 6ab больше аb6, либо аb6 больше 6аb.
1 случай 6аb>аb6
6•100+а•10+b–а•100–b•10–6=162<=>6•100+а•10+b=а•100+b•10+6+1•100+6•10+2<=>6•100+а•10+b=
=(а+1)•100+(6+b)•10+8=>b=8, а+10=b+6, 6–1=а+1=>b=8, а=4  Следовательно, искомое число — 48.
II случай  ab6 > 6аb
а•100+b•10+6–6•100–а•10–b=162<=>а•100+b•10+6= 6•100+а•10+b+1•100+6•10+2<=>а•100+b•10+6=
=7•100+(а+6)•10+(b+2)=>b+2=6, b+10=а+6, а–1=7=>b=4, а=8 Следовательно, искомое число — 84. Ответ: 48 или 84.
в) Представим искомое трехзначное число в виде abc. Если приписать цифру 9 слева, то получим число 9abc, справа — abc9. Их разность составляет 2214. Имеем две возможности.
Либо 9abc больше abc9, либо abc9 больше 9аbс.
1 случай 9abc>abc9
9•1000+a•100+b•10+x–а•1000–b•100–x•10–9=2214<=>9•1000+а•100+b•10+x=2•1000+2•100+1•10+4+a•1000+
+b •100+х•10+9<=>9•1000+а•100+b•10+х=(а+2)•1000+(b+2)•100+(х+1)•100+(х+2)+3<=>х=3, b=х+2, а=b+2, а+2=9=>х=3,  b=5, а=7 Следовательно, искомое число — 753.
II случай abc9>9аbс
а•1000+b•100+х•10+9–9•1000–а•100–b•10–x=2214 <=>а•1000+b•100+x•10+9=9•1000+а•100+b•10+x+2•1000+ +2•100+1•100+4<=>а•1000+b•100+х•10+9=1•10000+1•1000+(а+ 2)•100+(b+ 1)•10+(x+ 4)
Получили пятизначное число, следовательно, abc9<9abc и имеем только один случай.  Ответ: 753.
г) Представим искомое трехзначное число в виде abc. Если приписать цифру 9 слева, то получим число 9abc, справа — abc9. Их разность равна 639. Имеем две возможности. Или 9abc больше abc9, или abc9 больше 9abc.
I случай 9abc> abc9
9•1000+а•100+b•10+х–а•1000–b•100–х•10-9=639<=>9•1000+а•100+b•10+х=а•1000+b•100+х•10+9+6•100+3•10+9<=>
9•1000+а•100+b10+x=а•100+(6+b)•100+(х+4)•10+8=> х=8, х+4=b+10, а–1=b+6, а=9=>х=8, b=2, а=9
Следовательно, искомое число — 928.
II случай
а•1000+b•100+х•10+9–9•1000–а•100–b•10–х=639<=>а•1000+b•100+х•10+9=9•1000+а•100+b•10+х+6•100+3•10+9   а•1000+b•100+х•10+9=9•1000+(а+6)•100+(b+3)•10+(х+9)=>х=0, b+3=10+х, а+6=b, a=9 => х=0, b=7, а=1, а=9 — противоречие, т.к. 1≠9.  Ответ: 928.

№304. а) Разделим весть путь на 5 равных частей. Каждая часть соответствует участку пути, на котором одно из колес было запасным. Соответственно каждое колесо проехало 4 части от всего пути.
1) 4000:5=800 (км) — приходится на 1 часть;  2) 800•4=3200 (км) — проехало каждое колесо.  Ответ: 3200 км.
б) Разделим весть путь на 5 равных частей. Каждая часть соответствует участку пути, на котором одно из колес было запасным. Соответственно каждое из колес проехало 4 части от всего пути.
1) 4000:4=1000 (км) — приходится на 1 часть;   2) 1000•5=5000 (км) — проехал автомобиль.   Ответ: 5000 км.305-307

№308. а) Пусть Наде—х лет. Тогда Вере (28–х) лет, а Любе (23–х) лет. Всего Наде, Вере и Любе (х+(28–х)+(23–х)) лет. По условию всем троим 38 лет. Найдем х.
1) х+(28–х)+(23–х)=38<=>х+28–х+23–х=38<=>51–х=38<=>х=13 (л) — возраст Нади;
2) 28–13=15 (л) — возраст Веры;    3) 23–13=10 (л) — возраст Любы.   Ответ: 15; 13; 10.
б) Пусть золотых медалей было х. Тогда бронзовых было (126–х) штук, серебряных было (149–х) штук. Всего было (х+(126–х)+(149–х)) медалей.   По условию спортсмены получили 195 медалей. Найдем х.
1) х+(126–х)+(149–х)=195<=>х+126–x+149–х=195<=>275–х=195<=>х=80 (м) — были золотыми;
2) 126–80=46 (м) — были бронзбвыми;   3) 149–80=69 (м) — были серебряными.   Ответ: 80; 69; 46.

№309. а) Некоторые ученики коллекционируют и марки, и монеты.
1) 11–5=6 (чел.) — коллекционируют только марки;   2) 11–8=3 (чел.) — коллекционируют только монеты.
Ответ: 6 человек; 3 человека.
б) 38–24–15=1 (чел.) — занимается и в хоре, и в лыжной секции. Ответ: 1 человек.
в) 1) 12+10–4=18 (уч) — участвовали в конкурсах  2) 35–18=17 (уч) — не участвовали в конкурсах Ответ: 17 уч.
г) 1) 23+18–10=31 (уч) — любит кошек или собак;  2) 32–31=1 (уч) — не любит ни кошек, ни собак. Ответ: 1 уч.
д) 1) 30–5=25 (уч) — ходили на экскурсию или в кино;  2) 25–23=2 (уч) — не ходили на экскурсию;
3) 25–21=4 (уч) — не ходили в кино; 4) 25–2–4=19 (уч) — ходили и на экскурсию, и в кино. Ответ: 19 учащихся.
е) 1) 30–2=28 (уч) — ходили на экскурсию или в кино; 2) 28–23+6=11 (уч) — ходили в кино. Ответ: 11 учащихся.

№310. Один арбуз.
№311. 

311Пронумерованные спички нужно переложить на места, отмеченные пунктиром.

312-315

В точку В можно прийти 35+21=56 способами.  Ответ: 56 способов.

№316. Посчитаем количество способов, которыми можно прийти каждую букву, запишем это число в клетку с буквой.

К1 О2 Л3 Я4
К1 О2 Л3 Я4

Всего 8+8=16 способов прочитать имя.  Ответ: 16 способов.

№317. Посчитать количество способов, которыми можно прийти в ка– ждую букву, запишем число способов в клетку с буквой.

 М  Р2 Р6 Т18
 А2  Ш6 У18
 М  Р Р12 Т36
 А2  Ш6 У18
М Р2 Р6 Т18

Всего 18+36+18=72 способа. Ответ: 72 способа.318-319

Для каждого заданного натурального числа, начиная с 79, мы будем иметь новое заполнение клеток. Натуральных чисел бесконечно много, следовательно, задача имеет бесконечно много решений.

№320. а) Набрать воды в сосуд вместимостью 8 л. После этого перелить воду в сосуд вместимостью 5 л. В первом сосуде останется 8–5=3 л воды.
б) Набрать воды в сосуд вместимостью 5 л — первый сосуд. Перелить всю воду в сосуд вместимостью 8 л — второй сосуд, в нем останется место еще на 8–5=3 л воды.
Опять набрать воды в первый сосуд, после этого перелить во второй. В первом сосуде останется 5–3=2 л воды.
После этого вылить всю воду из второго сосуда, а из первого перелить во второй 2 л.
Набрать 5 л воды в первый сосуд и перелить ее во второй. В итоге во втором сосуде будет 5+2=7 л воды.

№321. а) Взвесим произвольно 2 монеты. Если их вес окажется равным, то третья монета будет фальшивой. Если же одна монета легче другой, то эта монета будет фальшивой.
б) Разобьем все монеты на три кучи по 3 монеты в каждой. Взвесим первую и вторую кучи. Возможно 2 варианта. Либо весь кусочек окажется равным, либо одна из куч будет легче.
Если вес первой и второй куч оказался равным, то фальшивая монета находится в третьей куче.
Если одна из куч была легче, то фальшивая монета в ней.
Таким образом, за одно взвешивание мы можем узнать, в какой из трех куч находится фальшивая монета. В этой куче будет три монеты. Еще за одно взвешивание мы сможем определить, какая именно монета фальшивая. Процедура описана в пункте а).
в) Разделим все монеты на три кучи по 9 монет в каждой. Взвесим первую и вторую кучи. Если их вес окажется равным, то фальшивая монета находится в третьей куче. Если же одна из куч окажется легче, то фальшивая монета находится в ней. Таким образом, за 1 взвешивание мы узнали, в какой куче находится фальшивая монета. У нас осталось 2 взвешивания и 9 монет. Далее применяем рассуждения пункта б).

№322. 5+(5–5)=5    5•5+5=25+5=30     5•(5+5)=5•10=50
№323. 7 частей.
№324. 8 бревен по 4 м и 2 бревна по 5 м
№325. Нужно сделать 5 распилов.
1) 1мин 30см=90с;   2) 90•5=450с — займет вся работа;    3) 450с=7мин 30с.   Ответ: 7мин 30сек.
№326. Количество этажей между 1 и 3 и 3 и 5 этажами равное, следовательно, лифт тратит одинаковое время на подъем.  1) 2•6=12 (с) — понадобится лифту.   Ответ: 12 секунд.

№327. Количество способов соответствует количеству монет достоинством в 5 руб.
I способ — 0 монет по 5 руб., 28 монет по 1 руб.
II способ — 1 монета по 5 руб., 23 монеты по 1 руб.
III способ — 2 монеты по 5 руб., 18 монет по 1 руб.
IV способ — 3 монеты по 5 руб., 13 монет по 1 руб.
V способ — 4 монеты по 5 руб., 8 монет по 1 руб.
VI способ — 5 монет по 5 руб., 3 монеты по 1 руб.
Ответ: 6 способов.

№328. 11 способов, рассуждения аналогичны номеру 327.

№329. Пусть у бездельника было х копеек. После первого перехода у него осталось (2•х–24) копейки, после второго — (2•(2•х–24)–24) копейки, после третьего — (2•(2•(2•х–24)–24)–24) копейки. По условию, после третьего перехода у него стало 0 копеек.
2•(2•(2х–24)–24)–24=0<=>2•(4х–48–24)–24=0<=>8х–96–48–24=0<=>8х=168<=>x=21 Ответ: 21 копейка.

№330. 1) 24:3=8 (ябл.) — стало у каждого брата;
2) 8 • 2=16 (ябл.) — было у старшего брата до того, как он делился яблоками;
3) 8 : 2 = 4 (ябл.) — по столько дал старший брат младшему и среднему;
4) 8 – 4 = 4 (ябл.) — по столько было у среднего и младшего до того, как делился старший брат;
5) 4 • 2 = 8 (ябл.) — было у среднего брата до того, как он делился яблоками;
6) 4 : 2 = 2 (ябл.) — дал средний брат старшему и младшему;
7) 16 – 2= 14 (ябл.) — было у старшего брата до того, как делился средний;
8) 4 – 2 = 2 (ябл.) — было у младшего брата до того, как делился средний;
9) 2 • 2 = 4 (ябл.) — было у младшего брата изначально;
10) 2 : 2 = 1 (ябл.) — дал младший брат старшему и среднему;
11) 14–1 = 13 (ябл.) — было у старшего изначально;
12) 8 – 1 = 7 (ябл.) — было у среднего брата изначально.
Отеет: 4; 7; 13.

№331. 1) 1+2+3+...+14=105 (р.) — заплатил бедняк богачу;
2) 1+2+22+23+... +213=1+2+4+8+16+...+8192=16383 коп. = 163 руб. 83 коп. — заплатил богач бедняку;
3) 163 руб. 83 коп. – 105 руб. = 58 руб. 83 коп. — потерял богач. Ответ: 58 руб. 83 коп. потерял богач.

ГЛАВА 2. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН

2.1. Прямая. Луч. Отрезок

№332. Поверхность воды.
№333. Провода.
№334. а) нет; б) одну; в) пересекаться, быть параллельными; г) прямые, которые не пересекаются; д) часть прямой, ограниченную одной точкой; е) часть прямой, ограниченную двумя точками.
№335.      С         А         В                Прямая АВ, лучи АВ и АС.
№336. Устная.
№337. а и b, к и m — параллельные прямые.
№338. Устная.
№339.             C                               А                В    
№340. Бесконечно много.
341-342

№343. На двечасти
№344.
а) на четыре части      б) на три части
№345. На 4, 6 или 7 частей.
№346. Бесконечно много. 
346 

№347.     М       А             В       N           4 луча: AM, BM, AN, BN
№348. а) 6 лучей     б) 10 лучей     в) 200 лучей
№349.  4 луча
№350.  6 лучей: AM, AN, BM, BN, CM, CN
№351. 3 отрезка: MN, NK, MK
№352.        А       В      С      D              Отрезки АВ, ВС, CD, AC, AD, BD.
353

2.2. Измерение отрезков

354-355

№356. Единичный отрезок.
№357. Длина отрезка.
358-365

№366. Устный.
№367. а) длина 20см ширина 17см   б) длина 21см ширина 18см    в) длина 21см  ширина 17см
№368. Устный.
№369. а) АВ=2см CD=3см  EF=2см   б) АВ=3см CD=4см EF=3см    в) АВ=3см CD=3см EF=3см
370   а) 36см   б) 37см  в) 37см

2.3. Метрические единицы длины

№371. Метр.
№372. Дециметр, сантиметр, миллиметр.
№373. Километр.

№374. а) в 10 раз    б) в 10 раз      
в) 1) в 10 раз         2) в 100 раз       3) в 1000 раз         4) в 10000000 раз   5) в 100000 раз    6) в 1000000 раз  
    7) в 10 раз         8) в 100 раз       9) в 1000000 раз   10) в 10000 раз      11) в 100000 раз  12) в 100 раз  
13) в 100000 раз   14) в 1000 раз   15) в 10000 раз       16) в 100 раз

№375. а) 1км=1000м   б) 17км=17000м  в) 10дм=1м   г) 270дм = 27м  д) 9700см=97м   е) 27000мм=27м
№376. а) 1м=10дм    б) 27м=270дм    в) 1км=10000дм    г) 17км=170000дм    д) 30 см = 3 дм     е) 9700см=970дм
№377. а) 1м=100см   б) 27м=2700см  в) 1км=100000см   г) 17км=1700000см   д) 9700мм=970см  е) 27000мм=2700см
№378. а) 9см=90мм   б) 27см=270мм  в) 10дм=1000мм   г) 270дм=27000мм   д) 1м=1000мм   е) 17м=17000мм 

№379. а) 1937мм = 1м 9дм 3см 7мм    б) 2079мм = 2м 0дм 7см 9мм = 2м 7см 9мм   в) 12938мм = 12м 9дм 3см 8мм   
г) 179см = 1м 7дм 9см   д) 92703см = 9км 270м 0дм 3см = 9км 270м 3см    е) 62074дм = 6км 207м 4дм

№380. а) 1м 3дм 8см 4мм = 1384мм   б) 2м 7см 9мм = 2м 0дм 7см 9мм = 2079мм  в) 23м 7дм 3см 6мм = 23736мм
г) 4м 7дм 6см = 4м 7дм 6см 0мм = 4760мм  д) 567м 1см = 567м 0дм 1см 0мм = 567010мм
е) 2км 504м 4дм = 2км 504м 4дм 0см 0мм = 2504400мм

№381. а) 7дм 6см ≈ 7дм с недостатком    7дм 6см ≈ 8дм с избытком и с округлением
б) 8дм 4см ≈ 8дм с недостатком и с округлением   8дм 4см ≈ 9дм с избытком
в) 3дм 5см ≈ 3дм с недостатком     3дм 5см ≈ 4дм с избытком и с округлением
г) 1м 8дм 3см ≈ 1м 8дм с недостатком и с округлением   1м 8дм 3см ≈ 1 м 9 дм с избытком
д) 4м 5дм 6см ≈ 4м 5дм с недостатком    4м 5дм 6см ≈ 4м 6дм с избытком и с округлением
е) 7м 3дм 5см ≈ 7м 3дм с недостатком    7м Здм 5см ≈ 7м 4дм с избытком и с округлением
ж) 29см = 2дм 9см ≈ 2 дм с недостатком  29см = 2дм 9см ≈ 3дм с избытком и с округлением
з) 41см = 4дм 1см ≈ 4 дм с недостатком и с округлением  41см = 4дм 1см ≈ 5 дм с избытком
и) 235см = 23дм 5см ≈ 23дм с недостатком  235см = 23дм 5см ≈ 24дм с избытком и с округлением
382 

2.4. Представление натуральных чисел на координатном луче

№383. Отрезок, длину которого принимают за единицу.
№384. Задаем луч, выходящий из точки О в направлении, отмеченном стрелкой. На луче от начальной точки О откладываем один за другим несколько отрезков единичной длины. Считаем, что точка О представляет число нуль, правый конец первого единичного отрезка — число 1, правый конец второго единичного отрезка — число 2 и т.д. Мы построили координатный луч
№385. Из двух натуральных чисел больше то, которое на координатном луче находится правее.
№386. А(2), ОА=2; В(3), ОВ=3; С(4), ОС=4; D(5), OD=5; E(6), OE=6 
387

№388.  а) В    б) А

№389. а) правее: 8, 9, 10   левее: 6, 5, 4    6) правее: 14, 15, 16   левее: 2, 11, 10      
в) правее: 101, 102, 103   левее: 699, 98, 97   г) правее: 999, 1000, 1001  левее: 997, 996, 995

№390.  а) 8   б) 9   в) 29
№391. а) А(17), В(18);  б) С(179), D(180);   в) К(1999), L(2000);    г) М(а), N(a+1) .
№392. а) а)7  б)8     б) а)6  б)7
№393. а) Да, нужно сделать 3 прыжка вправо и потом 3 прыжка влево, б) Да, нужно сделать 2 прыжка вправо и один прыжок влево.

2.5. Окружность и круг. Сфера и шар

№394. а) бублик       б) увеличительное стекло
№395. О — центр окружности OL — радиус окружности   АВ — диаметр окружности
№396. а) футбольный мяч      б) земля
№397. «Сфериком»
№398. Окружность на рисунке 2, круг на рисунке 4.
399-400



Новости